{"id":1971,"date":"2015-06-16T15:22:35","date_gmt":"2015-06-16T13:22:35","guid":{"rendered":"http:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/?p=1971"},"modified":"2016-05-17T15:36:06","modified_gmt":"2016-05-17T13:36:06","slug":"linsegnamento-della-matematica-tra-pregiudizi-e-valutazioni-scolastiche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/linsegnamento-della-matematica-tra-pregiudizi-e-valutazioni-scolastiche\/","title":{"rendered":"L\u2019insegnamento della matematica tra pregiudizi e valutazioni scolastiche"},"content":{"rendered":"<p><em>Questo articolo \u00e8 stato pubblicato nel N\u00b0 70 del <strong>Bollettino dei docenti di matematica<\/strong>, curato dal Laboratorio di didattica della matematica (Maggio 2015, Repubblica e Cantone del Ticino, Dipartimento dell\u2019educazione, della cultura e dello sport, Divisione della Scuola, Centro didattico cantonale, ISBN 978-88-86486-7).<\/em><\/p>\n<hr \/>\n<p><a href=\"#_ftn1\" name=\"_ftnref1\">[1]<\/a> La matematica \u00e8 di moda. Negli ultimi anni diversi titoli librari centrati sulla divulgazione matematica, in molteplici forme, hanno raggiunto quote di vendita a volte superiori a facili romanzetti da spiaggia. L\u2019ultimo \u2013 mentre scrivo e tanto per citarne almeno uno \u2013 \u00e8 certamente <em>\u00abCapra e Calcoli. L\u2019eterna lotta tra gli algoritmi e il caos\u00bb,<\/em> scritto a quattro mani dal chimico-romanziere Marco Malvaldi, l\u2019autore della fortunata serie dei vecchietti del Bar Lume pubblicata da Sellerio, e dal fisico Dario Leporini, docente all\u2019Universit\u00e0 di Pisa. Ma qualche anno fa aveva incontrato grandi favori <em>\u00abIl teorema del pappagallo\u00bb, <\/em>del romanziere e matematico francese Denis Guedj, o altri volumi finiti per ora nella mia lista dei libri da leggere<a href=\"#_ftn2\" name=\"_ftnref2\">[2]<\/a>. Oppure ancora il recente <em>\u00abParticelle familiari. Le avventure della fisica e del bosone di Higgs, con Pulce al seguito\u00bb,<\/em> del fisico Marco Delmastro. In quest\u2019ottica anche il folgorante successo di <em>\u00abMatematicando. A spasso con la matematica per le strade di Locarno\u00bb<\/em> s\u2019iscrive in questo momento magico per la scienza delle scienze e delle conoscenze: che il venerd\u00ec 16 maggio dello scorso anno giungesse a Locarno un migliaio di allievi da pi\u00f9 parti del Ticino poteva essere scontato; ma che il giorno dopo ben 2\u2019500 persone \u2013 famiglie, insegnanti, semplici curiosi \u2013 affollassero i laboratori e gli spettacoli messi in cantiere dal Dipartimento formazione e apprendimento della SUPSI ha stupito anche il pi\u00f9 inebriato degli ottimisti (figurarsi la faccia di quelli che, in fase di progettazione, invitavano alla cautela, e consigliavano di non muoversi oltre le tante mura dell\u2019ex convento di Piazza San Francesco).<\/p>\n<p>Malgrado tutto \u2019sto gran fervore ed entusiasmo, temo che ci vorr\u00e0 ancora un po\u2019 di tempo prima che nella scuola \u2013 e penso in particolare alla scuola dell\u2019obbligo \u2013 la matematica riesca a scrollarsi di dosso l\u2019idea di una disciplina <em>\u00abfredda, arida, preconfezionata, ideale, lontana, pura, immutabile, la cui comprensione e descrizione appaiono come impersonali, senza possibilit\u00e0 di interpretazione da parte del soggetto\u00bb,<\/em> una materia d\u2019insegnamento, insomma, che <em>\u00abNel senso comune (\u2026) viene ritenuta una disciplina che l<\/em><em>\u2019umanit\u00e0 pu\u00f2 soltanto contemplare, al limite scoprire, ma non interpretare e tanto meno costruire\u00bb<\/em><a href=\"#_ftn3\" name=\"_ftnref3\"><em><strong>[3]<\/strong><\/em><\/a><em>:<\/em> per farla breve una roba fatta solo per gente predisposta, per chi ha avuto la fortuna di nascere con l\u2019acido desossiribonucleico strutturato nella giusta maniera. Come recita il popolare adagio attribuito ad Albert Einstein <em>\u00ab\u00c8 pi\u00f9 facile spezzare un atomo che un pregiudizio\u00bb:<\/em> e i pregiudizi sulla matematica sono sterminati.<\/p>\n<p>A determinare questa sorta di alterigia della matematica scolastica concorrono certamente tante cause, alcune delle quali sono tra loro correlate. La valutazione, quella di note <em>et similia,<\/em> per intenderci, \u00e8 per\u00f2 ancor oggi un elemento sensibile che, come si vedr\u00e0, pu\u00f2 influenzare anche altre scelte relative ai contenuti e alla didattica. Si tende a privilegiare problemi matematici scolastici standard, a livello di scuola dell\u2019obbligo, dove tutti i dati sono utili per un\u2019unica soluzione \u2013 salvo esplicite consegne specifiche \u2013 e che coinvolgono, preferibilmente, un\u2019unica procedura per giungere al risultato finale. Per fare un esempio concreto, l\u2019esercizio <em>Compero dal salumiere 3 etti di prosciutto che costa 57 franchi al chilo.<\/em> <em>Quanto spendo?<\/em> ha un\u2019unica inequivocabile soluzione: <em>Spendo Fr 17.10, <\/em>e a soluzione giusta corrisponde una valutazione data, ad esempio un punteggio, una nota, un giudizio. Anni fa una delle prove degli esami alla fine del I ciclo della scuola elementare era costituita da sei problemi \u2013 toh, sei problemi, come le note \u2013 che richiedevano un\u2019unica operazione per giungere alla soluzione. C\u2019erano due problemi basati sull\u2019addizione, due sulla sottrazione e due sulla moltiplicazione, come se tutti i problemi debbano per forza richiedere delle operazioni per essere chiariti. Gli allievi dovevano risolvere ogni problema scrivendo il calcolo e il risultato\u2026 Gli insegnanti avevano ricevuto chiare istruzioni per la valutazione della prova: si assegnava 1 punto per ogni calcolo indicato correttamente e 1 punto per ogni risultato esatto.<\/p>\n<p>Si deve pretendere che una prova somministrata a 10 mila allievi, con il coinvolgimento di 5 o 6 cento insegnanti sia stata concepita in tutti i suoi molteplici aspetti con lo scopo di valutare e verificare la padronanza di un obiettivo del programma: <em>Risoluzione di problemi di addizione e sottrazione (\u2026) enunciati con un testo scritto e richiedenti una sola operazione.<\/em> Il tutto sembra semplice al punto tale che non sono possibili malintesi o pressapochismi: 6 operazioni giuste valgono 6 punti; 6 risultati esatti valgono 6 punti; la prova, nel complesso, vale 12 punti, equivalenti alla nota 6.<\/p>\n<p>Si intuisce subito che diverse cose non quadrano. Intanto la prova non si limita a verificare la padronanza dell\u2019obiettivo indicato, ma aggiunge l\u2019inderogabile capacit\u00e0 di eseguire i calcoli correttamente, non fosse che lo strumento per verificare la padronanza di quest\u2019altro obiettivo non \u00e8 certo quello pi\u00f9 adeguato. A suo tempo avevo messo in luce altri svarioni; ad esempio:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<ul>\n<li>cos\u2019ha combinato l\u2019allievo che ha totalizzato 6 punti? Tre problemi con i risultati completamente giusti, ma le operazioni indicate scorrette? Sei operazioni indicate correttamente, ma con i calcoli sbagliati?, \u2026<\/li>\n<li>Poniamo che l\u2019operazione da indicare fosse <em>9 + 7 = 16.<\/em> Se l\u2019allievo indica un procedura risolutiva sbagliata <em>(9 <\/em><em>&#8211; 7 = 2), <\/em>riceve ugualmente il punto per il calcolo corretto?<\/li>\n<li>L\u2019enunciazione di ogni problema era del tutto stereotipata e, cos\u00ec, conteneva unicamente i dati per risolverlo, senza l\u2019aggiunta di elementi che avrebbero potuto \u00abdistrarre\u00bb l\u2019allievo <em>(Un ragazzino di 9 anni, che abita in Via Lunga 18 ed \u00e8 alto 73 cm, compera in edicola 5 bustine di figurine\u2026)<\/em>. Tenuto conto che i programmi in vigore (quelli del 1984) stabiliscono che in 2\u00aa elementare ci si limita a problemi e situazioni che implicano i concetti di addizione, sottrazione e moltiplicazione, la possibilit\u00e0 di azzeccare l\u2019operazione corretta \u00e8 di \u2153.<\/li>\n<\/ul>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Se lo scopo della prova era quello di verificare in che misura gli allievi erano in chiaro sugli algoritmi necessari per risolvere i problemi, messi in luce dall\u2019operazione da svolgere, si pu\u00f2 ben dire che la modalit\u00e0 di valutazione della prova non era in grado di dare risposte esaustive e scientificamente corrette. Tutt\u2019al pi\u00f9 i risultati complessivi avranno accontentato i fanatici della curva di Gauss. Per contro i 10 mila allievi avranno ottenuto una valutazione, tutt\u2019altro che pedagogicamente corretta, che avr\u00e0 certamente influito sulla loro pagella.<\/p>\n<p>Sappiamo, purtroppo!, che in molte aule procedure di valutazione come questa sono all\u2019ordine del giorno. Il dramma \u00e8 che sono avvalorate e legittimate proprio da esami istituzionali come quello indicato: \u00e8 fin troppo conosciuto il fenomeno di alone che gli esami \u00abufficiali\u00bb diffondono nel loro raggio d\u2019azione, cos\u00ec che i contenuti di un esame di giugno diventano assi portanti dei programmi dell\u2019anno dopo. Ma s\u2019\u00e8 visto anche altro.<\/p>\n<p>Qualche anno dopo l\u2019esame di fine ciclo test\u00e9 illustrato, l\u2019autorit\u00e0 scolastica cantonale eman\u00f2 delle prove di matematica per gli allievi di 5\u00aa elementare, i soliti 10 mila allievi e passa. Dal momento che i programmi parlano di obiettivi minimi o di padronanza \u2013 <em>Gli obiettivi di padronanza indicano ci\u00f2 che ogni allievo dovrebbe essere in grado di fare con sicurezza al termine del primo e del secondo ciclo. La scuola elementare assume con ci\u00f2 l\u2019impegno di fornire a tutti gli allievi un minimo di conoscenze strumentali indispensabili per le necessit\u00e0 pratiche della vita sociale e per il proseguimento degli studi nelle diverse discipline<\/em> \u2013 e di obiettivi di sviluppo, c\u2019erano una batteria di prove destinata a verificare i primi obiettivi e una seconda batteria consacrata alle competenze che superavano quel <em>minimo di conoscenze strumentali indispensabili per le necessit\u00e0 pratiche della vita eccetera\u2026<\/em><\/p>\n<p>Si pu\u00f2 dunque immaginare che il risultato atteso fosse di una massiccia riuscita nella prima batteria, e risultati pi\u00f9 sfilacciati nella seconda. Invece and\u00f2 esattamente al contrario. Se prendiamo per buona la perfetta taratura degli strumenti di misurazione, avremmo dovuto concludere che una significativa frazione di allievi non raggiungeva <em>con sicurezza<\/em> gli obiettivi minimi, <strong>ma<\/strong> era nel contempo in grado di affrontare situazioni matematiche pi\u00f9 complesse, che \u00e8 un po\u2019 come dire che non erano in grado di guidare un\u2019utilitaria, ma sapevano arrivare indenni in fondo a un Gran Premio di Formula 1.<\/p>\n<p>Ora, per\u00f2, conviene interrogarsi sull\u2019influenza, forse nefasta, che gli strumenti di valutazione possono avere sui contenuti dell\u2019insegnamento, sull\u2019organizzazione pedagogica della classe e sugli approcci didattici. Il principale punto controverso concerne il rapporto tra gli obiettivi fondamentali dell\u2019insegnamento e gli strumenti normalmente usati per le verifiche. Sappiamo, e lo possiamo facilmente intuire, che vi sono obiettivi importanti che potrebbero far parte dei programmi, ma che, solitamente, finiscono nelle premesse e nelle introduzioni, a far la figura delle solite foglie di fico dietro le quali nascondere le proprie vergogne. \u00c8 il caso, un po\u2019 dappertutto, dei grandi enunciati sulle finalit\u00e0 della scuola. Per restare in campo matematico \u2013 ma la riflessione concerne pressoch\u00e9 tutte le discipline \u2013, si potrebbe facilmente affermare che saper leggere e interpretare i sondaggi o le previsioni meteorologiche sia un obiettivo importante, sia per le competenze che si devono mettere in atto, sia per le evidenti ricadute sulla vita pratica. Interpretare col cervello ben sveglio che il sondaggio che vede in testa alle preferenza per l\u2019elezione del governo il partito A significa sapere come funziona una campionatura della popolazione, come si preparano le domande da porre agli intervistati, come si calcolano i margini di errore, come si fissano le soglie di attendibilit\u00e0: si impara, insomma, a dubitare e a sfoggiare un utile atteggiamento critico. I sondaggi che precedono le votazioni \u2013 politiche o referendarie \u2013 sono armi potenti per orientare e influenzare l\u2019opinione pubblica. Analogamente le previsioni del tempo influiscono suoi nostri progetti per la fine settimana. \u00c8 la statistica, \u00e8 il calcolo delle probabilit\u00e0, che non combacia con la storia dei due polli<a href=\"#_ftn4\" name=\"_ftnref4\">[4]<\/a>, mentre si avvicina a quel che pensava Alfred Sauvy<a href=\"#_ftn5\" name=\"_ftnref5\">[5]<\/a>, secondo il quale le statistiche \u00absono come i bikini: si crede che mostrino tutto, ma nei fatti nascondono l\u2019essenziale\u00bb. Sarebbe oltremodo utile che ogni cittadino fosse in grado di leggere criticamente indagini statistiche, previsioni politiche e meteorologiche, gusti e propensioni della societ\u00e0 in cui vive. Di converso, tuttavia, nessuno pretende che ognuno sia in grado di progettare e condurre sondaggi, di calcolare correlazioni o di ipotizzare esiti: insomma, di effettuare test statistici. Ecco un argomento di grande importanza, ma talmente difficile da verificare e valutare che, normalmente, non fa parte dei programmi, anche se sul piano del ragionamento e della pratica costante della speculazione intellettuale sarebbe un capitolo importante tanto quanto la padronanza del teorema di Pitagora \u2013 questo s\u00ec protagonista indiscusso di fior d\u2019esami: anche se\u2026<\/p>\n<p>Philippe Perrenoud<a href=\"#_ftn6\" name=\"_ftnref6\">[6]<\/a>, citando lo psicologo Christian Guillevic<a href=\"#_ftn7\" name=\"_ftnref7\">[7]<\/a>, fa un esempio un poco provocatorio<a href=\"#_ftn8\" name=\"_ftnref8\"><sup><sup>[8]<\/sup><\/sup><\/a>: <em>\u00ab\u00c8 sufficiente, per essere meglio preparati alla vita, che gli allievi imparino a mobilitare il teorema di Pitagora per risolvere dei problemi reali? Evidentemente si risponderebbe in modo affermativo se fosse necessario attivare di frequente il teorema di Pitagora nella nostra vita. Ma in realt\u00e0 chi se ne serve, a parte quelli che esercitano una professione legata alla geometria? Taluni che se ne servono professionalmente, ad esempio i carpentieri, non conoscono quel teorema, ma applicano una regola che ne \u00e8 solo una derivazione e che loro stessi sarebbero in difficolt\u00e0 a spiegare\u00bb. <\/em>E continua:<em> \u00abPer verificare che due travi di un tetto formino un angolo retto, il carpentiere fa un segno su una trave a 6 dm dal vertice e un segno a 8 dm sull\u2019altra. Tende poi una cordicella tra i due segni e misura la distanza che li separa. Se questa \u00e8 esattamente di un metro, conclude che l\u2019angolo \u00e8 retto. A giusto titolo, poich\u00e9 in effetti nel triangolo rettangolo virtuale cos\u00ec creato, il quadrato dell\u2019ipotenusa \u00e8 uguale alla somma dei quadrati dei due lati dell\u2019angolo retto (10<sup>2<\/sup> = 6<sup>2<\/sup> + 8<sup>2<\/sup>, ovvero 100 = 36 + 64). La procedura funziona perch\u00e9 \u00e8 fondata sul teorema di Pitagora, ma non c\u2019\u00e8 nessuna necessit\u00e0 di conoscerlo per servirsene in modo efficace\u00bb.<\/em><\/p>\n<p>L\u2019esempio del teorema di Pitagora apre altres\u00ec un altro dibattito importante, che \u00e8 peculiare alla matematica della scuola dell\u2019obbligo, soprattutto laddove cerca, spesso in modo maldestro e al limite del ridicolo, di declinare la matematica in termini di <em>utilit\u00e0 pratica,<\/em> di opportunit\u00e0 per la vita di tutti i giorni. Ma siamo sicuri che sia cos\u00ec e, in particolare, che cos\u00ec debba restare? Non \u00e8 solo per le applicazioni concrete che la matematica ha avuto un grande successo nella societ\u00e0, ma come molti matematici sostengono \u00abCi\u00f2 \u00e8 dovuto anche al sottile, sublime, inarrivabile fascino privo di applicazioni che essa \u00e8 in grado di esercitare<a href=\"#_ftn9\" name=\"_ftnref9\">[9]<\/a>\u00bb.<\/p>\n<p>Va da s\u00e9 che non \u00e8 certo nelle mie intenzioni \u2013 n\u00e9, immagino, in quelle di Perrenoud \u2013 estendere concretamente tale ragionamento a tanti e tanti contenuti dei programmi scolastici, con un\u2019azione un poco iconoclastica, ci\u00f2 che, d\u2019altra parte, rischierebbe di contribuire all\u2019ampliamento ragguardevole della gi\u00e0 estesa schiera dei <em>Fachidioten,<\/em> gli \u00abidioti specializzati\u00bb. Per coerenza, lo stralcio del teorema di Pitagora dai programmi della scuola dell\u2019obbligo comporterebbe pure la cancellazione di tanti e tanti contenuti, forse di intere discipline: dalla letteratura alla poesia, dall\u2019algebra alla musica, dalla biologia alla storia, \u00e8 tutto un fiorire di conoscenze di cui, volendo, si pu\u00f2 fare a meno. In realt\u00e0 il problema non risiede nel teorema di Pitagora, n\u00e9 negli eucarioti o nella Svizzera dei tradici cantoni, e men che meno in Francesco Petrarca, Alessandro Manzoni, Johann Sebastian Bach o Michelangelo Buonarroti. Sul piano dell\u2019arricchimento culturale e dello sviluppo della speculazione intellettuale e dello spirito critico servono ben altre conoscenze, che superano le competenze pratiche per <em>preparare alla vita.<\/em> Ma \u00e8 palese \u2013 purtroppo \u2013 che se tali conoscenze diventano le armi improprie della selezione scolastica, allora la scuola dell\u2019obbligo vien meno al suo mandato. Per farla breve: non si tratta di mettere alla berlina Pitagora o il suo teorema pi\u00f9 famoso (per taluni, tristemente famoso). Esso \u00e8 alla base della metrica euclidea, con tutto quel che ne consegue. Non insegnarlo a scuola sarebbe come ignorare Dante nei programmi di italiano o Mozart in quelli di musica. Resta per\u00f2 il pernicioso problema dell\u2019uso che, troppo spesso, la scuola fa di Pitagora (e di Euclide, Dante e Mozart\u2026), con la scusa, del tutto goffa e per certi versi velenosa, come la mela di Biancaneve, che \u00abserve alla vita professionale\u00bb. Lo stesso Perrenoud solleva un altro problema, legato ad alcune discipline ugualmente \u00abutili\u00bb e importanti per la formazione dei futuri cittadini, che, tuttavia, non fanno parte, se non sporadicamente e di straforo, dei programmi della scuola dell\u2019obbligo, come la psicologia e la psicanalisi, la sociologia, le scienze politiche e quelle economiche, il diritto, la criminologia, l\u2019architettura e l\u2019urbanistica.<a href=\"#_ftn10\" name=\"_ftnref10\"><sup><sup>[10]<\/sup><\/sup><\/a><\/p>\n<p>La definizione chiara di un obiettivo, inoltre, non si traduce ancora in una valutazione scientificamente oggettiva. Tante altre variabili, in effetti, concorrono a far s\u00ec che le valutazioni ottenute da un allievo non garantiscano nella realt\u00e0 il raggiungimento del tale o del tal altro obiettivo: dall\u2019inadeguatezza dei sistemi di valutazione impiegati, a un insegnamento manchevole, a scelte didattiche sbagliate. Si aggiunga poi la ben nota \u00abindifferenza alle differenze\u00bb, di cui gi\u00e0 parlava Pierre Bourdieu quasi cinquant\u2019anni fa. Con l\u2019imbroglio delle \u00abpari opportunit\u00e0\u00bb, e con l\u2019esistenza stessa del meccanismo della promozione da una classe all\u2019altra, <em>\u00ab\u2026la scuola trasforma differenze e disuguaglianze di diversa derivazione in insuccessi e riuscite scolastiche. Se a sei anni alcuni bambini sanno gi\u00e0 leggere, mentre altri sono ancora molto distanti, si esige che tutti sappiano leggere circa un anno pi\u00f9 tardi. Questa indifferenza alle differenze<\/em><a href=\"#_ftn11\" name=\"_ftnref11\"><sup><sup>[11]<\/sup><\/sup><\/a>, <em>propria della scuola, contrasta col trattamento differenziato delle persone nel campo della sanit\u00e0, della giustizia, del lavoro sociale, tanto per citare qualche esempio.\u00bb<a href=\"#_ftn12\" name=\"_ftnref12\"><sup><strong><sup>[12]<\/sup><\/strong><\/sup><\/a><\/em> Eppure il tema della <em>differenziazione dell\u2019insegnamento<\/em> non \u00e8 propriamente una trovata pi\u00f9 o meno utopica ed estemporanea di quest\u2019ultimi anni, ma vanta una lunga serie di esperienze e di importanti riflessioni. E, d\u2019altra parte, vi sono docenti che organizzano il loro insegnamento proprio centrando la loro attenzione pedagogica su questo basilare principio: si pensi, ad esempio, alla correzione interattiva del testo di un alunno, in luogo della correzione differita dei testi dell\u2019intera classe; alla somministrazione mirata e adeguata di esercizi e problemi, al posto di compiti uguali per tutti; al primato del lavoro attivo dell\u2019allievo, invece dell\u2019ascolto fors\u2019anche passivo di lezioni ex cathedra.<\/p>\n<p>D\u2019altro canto conosciamo bene gli effetti perversi che possono scaturire dall\u2019analisi molto approfondita degli obiettivi scolastici, che per forza di cose cominciano con l\u2019escludere tutto ci\u00f2 che \u00e8 di complessa valutazione, soprattutto attraverso i soliti strumenti, quali il tradizionale test o l\u2019interrogazione. \u00c8 inoltre doveroso rammentare in ogni momento che la scuola \u00e8 un luogo di educazione formale, che intende insegnare o far apprendere conoscenze, nozioni, attitudini o capacit\u00e0 in un ambiente fortemente artificiale. Sono abbastanza note talune esperienze condotte sin dagli anni \u201980 sulle competenze matematiche acquisite \u00abon the job\u00bb, sul lavoro, rispetto al classico apprendimento scolastico, per lo pi\u00f9 di natura teorica<a href=\"#_ftn13\" name=\"_ftnref13\"><sup><sup>[13]<\/sup><\/sup><\/a>:<\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><em>Numerose ricerche dimostrano la ricchezza dei saperi acquisiti fuori dalla scuola. Nel campo della matematica, ad esempio, gli analfabeti non sono necessariamente ignoranti. Essi possono risolvere problemi che richiedono dei calcoli, a volte abbastanza complessi, anche se gli algoritmi sono spesso limitati: si conta sulle dita, per esempio, e la moltiplicazione \u00e8 sostituita da addizioni in sequenza. In tal modo il calcolo (mentale o orale) \u00e8 spesso pi\u00f9 lungo, pi\u00f9 complicato, limitato ai numeri pi\u00f9 abituali. Invece che manipolare simboli, si manipolano quantit\u00e0, vale a dire delle cifre con un significato effettivo, e il risultato \u00e8 immediatamente valutato in rapporto alla realt\u00e0. A scuola, per contro, l\u2019allievo manipola per lo pi\u00f9 dei simboli, con degli algoritmi che ricordano a volte dei ritornelli, e il risultato \u00e8 confrontato solo raramente con la realt\u00e0.<\/em><\/p>\n<p><em>Tramite una ricerca svolta a Recife, in Brasile, Nunes, Schliemann e Carraher (1993) hanno osservato dei bambini che vendevano frutta al mercato. I ricercatori hanno posto, in situazione spontanea, una serie di problemi basati sul calcolo (del tipo: quanto costano 10 ananas da 35 cruzeiros l\u2019uno?). In seguito hanno sottoposto a quegli stessi bambini i medesimi calcoli in versione pi\u00f9 scolastica. Mentre il 98% dei calcoli era giusto al mercato, la riuscita scendeva al 73% se gli stessi calcoli erano posti sottoforma di problemi, e solo al 37% chiedendo le operazioni fuori contesto. In un altro studio degli stessi ricercatori, si \u00e8 rilevato che alcuni bambini che utilizzavano a scuola delle strategie \u00aborali\u00bb (della strada) per la moltiplicazione, riuscivano al 100%, contro il 39% con le strategie scritte.<\/em><\/p>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p>Com\u2019\u00e8 il caso di ogni ricerca, nulla pu\u00f2 essere trattato come se fosse oro colato. Siamo di fronte al fenomeno, ormai conosciuto da anni, del cosiddetto <em>apprendimento empirico,<\/em> che qualcuno considera selvatico o ruspante. Le <em>rappresentazioni spontanee<\/em> sono spesso il frutto di apprendimenti della strada, attraverso i racconti dei pari \u2013 c\u2019\u00e8 sempre chi cita qualche inesistente fonte scientifica \u2013, le novelle metropolitane, le bufale vere e proprie. Cos\u00ec capita chi si rovina col gioco d\u2019azzardo perch\u00e9 ha dato retta a qualche esperto pr\u00eat-\u00e0-porter della teoria dei grandi numeri o perch\u00e9 non \u00e8 in grado di stimare convenientemente le conseguenze delle proprie azioni. In tal senso lo studio della matematica e del calcolo delle probabilit\u00e0 hanno un senso assoluto e fondatore: per non passare una vita da eterno abbindolato, per tener sveglie e attive la proprie sinapsi, per avere uno strumento in pi\u00f9 che permetta di guardare il mondo e di interpretarlo. E, magari, per non prendersela col governo se il servizio meteorologico ha mandato a carte quarantotto la grigliata in riva al lago per la festa nazionale. Ma, mi ripeto, un conto \u00e8 insegnare la matematica, un altro usarla come un Kala\u0161nikov (o un pi\u00f9 nostrano Fass).<\/p>\n<p>Naturalmente si potrebbero ricamare tante considerazioni attorno a ricerche come questa. Ci\u00f2 mette comunque in luce almeno due aspetti fondamentali dell\u2019insegnamento\/apprendimento scolastico: il primo, che vi \u00e8 sovente un pi\u00f9 o meno alto grado di confusione tra i dati reali e la loro simbolizzazione; il secondo, che in parte pu\u00f2 scaturire dal primo, che la conoscenza astratta pu\u00f2 prescindere dalla comprensione adeguata dell\u2019algoritmo, semplicemente memorizzando le strategie simboliche richieste dalla scuola.<\/p>\n<p>Nella scuola, e in particolare nei primissimi anni, di primaria importanza, un gran numero di insegnanti tende a sottovalutare la necessit\u00e0 che l\u2019allievo deve riuscire a padroneggiare con competenza il senso dei numeri e il significato delle operazioni aritmetiche. Le attivit\u00e0 di manipolazione, a quell\u2019et\u00e0, sono basilari, perch\u00e9 portano alla conoscenza di questi concetti basilari, in assenza dei quali anche l\u2019equazione pi\u00f9 semplice diventa un azzardo, da affrontare con il vuoto strumento dell\u2019algoritmo appreso mnemonicamente. Il bambino che mette il segno \u00ab&lt;\u00bb tra 5 e 3 (\u00ab5 &lt; 3\u00bb) non ha capito la relazione che intercorre tra la quantit\u00e0, il numero e il loro ordinamento. Oppure questi <em>operatori logici<\/em> gli sono stati spiegati alla carlona: maggiore o minore, pi\u00f9 grande o pi\u00f9 piccolo, e via discorrendo, magari senza nemmeno verificare se il ragazzino sappia cosa significano le espressioni <em>minore di<\/em> e <em>maggiore di.<\/em> Mi viene in mente uno di quei \u00abtrucchetti\u00bb che sembrano miracolosi e che, per contro, sono del tutto sbagliati:<\/p>\n<p><a href=\"http:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Equazione-per-BDM.jpg\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"size-medium wp-image-1975 aligncenter\" src=\"http:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Equazione-per-BDM-300x85.jpg\" alt=\"Microsoft Word - Matematica pregiudizi e note - VERSIONE PER SIT\" width=\"300\" height=\"85\" srcset=\"https:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Equazione-per-BDM-300x85.jpg 300w, https:\/\/adolfotomasini.ch\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2015\/08\/Equazione-per-BDM.jpg 888w\" sizes=\"auto, (max-width: 300px) 100vw, 300px\" \/><\/a><\/p>\n<p>Eppure in tante classi di 1\u00aa elementare si passa troppo in fretta dalle palline di gomma ai cerchietti disegnati sul quaderno, ai numeri. Tale maniera di sviluppare l\u2019itinerario didattico sembra proprio una perfida ricaduta delle procedure di valutazione: per un bimbo di 5-7 anni che sta muovendo i primi passi nel mondo della matematica il passaggio dalla manipolazione concreta alla rappresentazione simbolica \u00e8 fondamentale. In assenza di ci\u00f2 si corre l\u2019enorme rischio di innescare una spirale infida, basata sulla memorizzazione di algoritmi e strategie aride e, in definitiva, incomprensibili nel loro significato pi\u00f9 profondo. E la scuola perde un\u2019occasione straordinaria per affascinare il futuro studente, mettendolo troppo in fretta di fronte alla sua inadeguatezza \u2013 quella manchevolezza che, prima o poi, far\u00e0 pronunciare ai genitori la fatidica frase: \u00abNon c\u2019\u00e8 tagliato\u2026\u00bb.<\/p>\n<p>Bruno D\u2019Amore sostiene che <em>\u00abuna delle maggiori difficolt\u00e0 del rapporto insegnamento \/ apprendimento consiste in questo: l\u2019insegnante dovrebbe convincere l\u2019allievo e s\u00e9 stesso che quel che si apprende, lo si apprende per la vita e non per il breve spazio di tempo legato ad una prova, ad una verifica, ad una qualche forma di valutazione.<\/em><\/p>\n<p><em>Certo, il problema \u00e8 antico e per questo sentito da sempre, ed apre vecchie e mai sopite ferite. N\u00e9 qui si vuol neppure tentare di dare possibili soluzioni strategiche nuove! D\u2019altra parte, come convincere un adolescente ad implicarsi in un cognitivo del quale non vede, non pu\u00f2 vedere, utilizzazioni future? E, d\u2019altra parte, quali usi di trigonometria, logaritmi ed algebra si potrebbero, ragionevolmente proporre?<\/em><\/p>\n<p><em>\u00c8 ovvio che nessun insegnante propone apprendimenti destinati solo a prove di verifica; l\u2019insegnante \u00e8 in buona fede e sa bene che quel che sta dando \u00e8 materiale cognitivo per la vita; il fatto per\u00f2 \u00e8 che a volte lo studente, che non ha strumenti critici proiettati sul futuro, valuta come fine a s\u00e9 stessa la proposta cognitiva dell\u2019insegnante, svilendola\u2026\u00bb<\/em><a href=\"#_ftn14\" name=\"_ftnref14\"><em><strong>[14]<\/strong><\/em><\/a><\/p>\n<p>Bisognerebbe intendersi sul significato di <em>apprendimento per la vita <\/em>\u2013 ma, nel contempo, non scarterei l\u2019ipotesi che invece tante cose insegnate a scuola abbiano come data di scadenza il giorno del test. D\u2019altra parte un gran numero di problemi che si ritrovano usualmente negli esercizi e nelle prove di verifica (tra l\u2019altro: verifica di <strong>cosa?!<\/strong>) sono una ridicola caricatura della vita, fosse solo quel breve segmento al banco del panettiere. In matematica, pi\u00f9 che in altre discipline, la sudditanza delle strategie pedagogiche e didattiche dagli strumenti di verifica degli apprendimenti \u00e8 forte. Ma, come abbiamo visto, gli strumenti possono facilmente risultare del tutto inadeguati. Non \u00e8 naturalmente un problema che tocca solo la matematica e, per estensione, quelle discipline, come la fisica, in cui la matematica riveste un ruolo determinante. \u00c8 possibile che la matematica, a questo livello, risenta ancor oggi di quella frattura, comunemente accettata, tra discipline scientifiche e umanistiche, con le prime esatte per definizione e le seconde esposte alle mode e alla soggettivit\u00e0 sfrenata. Ma cosa c\u2019\u00e8 di pi\u00f9 umanistico delle domande fondatrici che si posero e si pongono ancor oggi i fisici e i matematici? \u00c8 ancora lecito, nel XXI secolo, sacrificare il fascino e l\u2019enorme valenza educativa e formativa di queste <em>materie scientifiche<\/em> sull\u2019altare del tecnicismo esagerato, finalizzato alla valutazione certificativa da rovesciare nelle pagelle scolastiche? Proprio quelle valutazioni numeriche che, fingendosi <em>scientifiche<\/em> e <em>indiscutibili,<\/em> si nutrono di medie, scarti e arrotondamenti e d\u00e0nno responsi semplicistici espressi su scale ordinali?<\/p>\n<p>Ivan Illich, il grande descolarizzatore, osservava che <em>\u00abQuasi tutto ci\u00f2 che sappiamo lo abbiamo imparato fuori della scuola. Gli allievi apprendono la maggior parte delle loro nozioni senza, e spesso malgrado, gli insegnanti. Ma il tragico \u00e8 che i pi\u00f9 assorbono la lezione della scuola anche se a scuola non mettono mai piede.<\/em><\/p>\n<p><em>\u00c8 fuori della scuola che ognuno impara a vivere. Si impara a parlare, a pensare, ad amare, a sentire, a giocare, a bestemmiare, a far politica e a lavorare, senza l\u2019intervento di un insegnante. Non fanno eccezione a questa regola neanche quei bambini che sono soggetti giorno e notte alla tutela di un maestro\u00bb.<a href=\"#_ftn15\" name=\"_ftnref15\"><sup><strong><sup>[15]<\/sup><\/strong><\/sup><\/a><\/em><\/p>\n<hr \/>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<h6><em><strong>ABSTRACT<\/strong><\/em><\/h6>\n<p><em>Mathematics is increasingly popular. However, more time will pass until it is no longer considered a cold, dry, ideal, pure and unchangeable subject, impersonal in its conception and understanding, or a subject which does not offer the possibility of interpreting its results: in short, a teaching subject that only few lucky and outstandingly smart people can understand. A famous quote, attributed to Albert Einstein, says that \u00abit is harder to crack prejudice than an atom\u00bb: and prejudice about maths is strong indeed. Many causes can be taken into account to explain this sort of haughtiness of mathematics, the most important of which are, according to the author of this paper, school assessment and the way curricula are devised and structured.<\/em><\/p>\n<hr \/>\n<p>&nbsp;<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref1\" name=\"_ftn1\">[1]<\/a> Ampi stralci di questo testo sono tratti dal mio articolo <em>\u00abDi competenze, conoscenze, valutazioni e regole del gioco\u00bb,<\/em> pubblicato unicamente nel mio sito (Cose di scuola, www.adolfotomasini.ch).<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref2\" name=\"_ftn2\">[2]<\/a>BOLONDI G. E D\u2019AMORE B. (2010). <em>La matematica non serve a nulla. Provocazioni e risposte per capire di pi\u00f9<\/em>. Bologna: Editrice Compositori.<\/p>\n<p>D\u2019AMORE B. E FANDI\u00d1O PINILLA M. I. (2013). <em>La nonna di Pitagora. L\u2019invenzione matematica spiegata agli increduli.<\/em> Bari: edizioni Dedalo.<\/p>\n<p>D\u2019AMORE B., <em>Pi\u00f9 che \u2019l doppiar de li scacchi s\u2019inmilla. Incontri di Dante con la matematica. <\/em>Bologna: editrice Pitagora.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref3\" name=\"_ftn3\">[3]<\/a> SBARAGLI S., \u00abIl ruolo dell\u2019interpretazione personale in aula\u00bb<em>,<\/em> in D\u2019AMORE B. e SBARAGLI S., <em>Un quarto di secolo al servizio della didattica della matematica, Atti del convegno \u00abIncontri con la matematica\u00bb,<\/em> N\u00b0 25, pp. 47-52.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref4\" name=\"_ftn4\">[4]<\/a> <em>Sai ched\u2019\u00e8 la statistica? \u00c8 \u2019na cosa \/ che serve pe f\u00e0 un conto in generale \/ de la gente che nasce, che sta male, \/ che more, \/ che va in carcere e che sp\u00f3sa. \/ Ma p\u00e8 me la statistica curiosa \/ \u00e8 dove c\u2019entra la percentuale, \/ p\u00e8 via che, l\u00ec, la media \u00e8 sempre eguale \/ puro co\u2019 la persona bisognosa. \/ Me spiego: da li conti che se fanno \/ seconno le statistiche d\u2019adesso \/ risurta che te tocca un pollo all\u2019anno: \/ e, se nun entra nelle spese tue, \/ t\u2019entra ne la statistica lo stesso \/ perch\u2019\u00e8 c\u2019\u00e8 un antro che ne magna due.<\/em> [TRILUSSA, <em>La statistica].<\/em><\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref5\" name=\"_ftn5\">[5]<\/a> Alfred Sauvy (1898-1990), economista e sociologo francese.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref6\" name=\"_ftn6\">[6]<\/a> Professore emerito della Facolt\u00e0 di psicologia e scienze dell\u2019educazione dell\u2019Universit\u00e0 di Ginevra.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref7\" name=\"_ftn7\">[7]<\/a> Professore di ergonomia all\u2019Istituto nazionale di scienze applicate di Tolosa e di psicologia del lavoro all\u2019universit\u00e0 di Tolosa II.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref8\" name=\"_ftn8\">[8]<\/a> PERRENOUD P. (2011). <em>Quand l\u2019\u00e9cole pr\u00e9tend pr\u00e9parer \u00e0 la vie\u2026 &#8211; D\u00e9velopper des comp\u00e9tences ou enseigner d\u2019autres savoirs?.<\/em> Paris: ESF \u00c9diteur<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref9\" name=\"_ftn9\">[9]<\/a> D\u2019AMORE B. (2012). <em>Matematica, come farla amare.<\/em> Firenze: Giunti.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref10\" name=\"_ftn10\">[10]<\/a> PERRENOUD P., 2011, Ibidem.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref11\" name=\"_ftn11\">[11]<\/a> BOURDIEU P., (1966). \u00abL\u2019\u00e9cole conservatrice. L\u2019in\u00e9galit\u00e9 sociale devant l\u2019\u00e9cole et devant la culture\u00bb, in <em>Revue fran\u00e7aise de sociologie,<\/em> N\u00b0 3.<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref12\" name=\"_ftn12\">[12]<\/a> PERRENOUD P., (1995). <em>La p\u00e9dagogie \u00e0 l\u2019\u00e9cole des diff\u00e9rences<\/em>. Paris: ESF \u00c9diteur (la traduzione italiana \u00e8 mia).<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref13\" name=\"_ftn13\">[13]<\/a> DASEN P. R., (2000). \u00abD\u00e9veloppement humain et \u00e9ducation informelle\u00bb, in DASEN P. R. e PERREGAUX C. <em>Raisons \u00e9ducatives N\u00b0 3\/2000 \u2013 Pourquoi des approches interculturelles en sciences de l&#8217;\u00e9ducation?. <\/em>Bruxelles: De Boek<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref14\" name=\"_ftn14\">[14]<\/a> D\u2019AMORE B., (1999). Scolarizzazione del sapere e delle relazioni: effetti sull\u2019apprendimento della matematica<em>.<\/em> <em>L&#8217;insegnamento della matematica e delle scienze integrate<\/em>. 22A, 3, 247-276<\/p>\n<p><a href=\"#_ftnref15\" name=\"_ftn15\">[15]<\/a> ILLICH I., (1971). <em>Deschooling Society<\/em>. New York: Harper &amp; Row. Trad. it. (1972), <em>Descolarizzare la societ\u00e0<\/em>. Milano: Mondadori.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Questo articolo \u00e8 stato pubblicato nel N\u00b0 70 del Bollettino dei docenti di matematica, curato dal Laboratorio di didattica della matematica (Maggio 2015, Repubblica e Cantone del Ticino, Dipartimento dell\u2019educazione, della cultura e dello sport, Divisione della Scuola, Centro didattico cantonale, ISBN 978-88-86486-7). [1] La matematica \u00e8 di moda. 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